电势和电势能模型例题
如图所示，虚线是某电场线的等势线。一带电粒子只在静电力作用下恰能沿实线从A点运动到C点，则（）
A.粒子一定带负电
B.粒子在A点的电势能大于C点的电势能
C.A点的电场强度大于C点的电场强度
D.粒子从A点到B点静电力所做功大于B点到C点静电力所做的功。
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【答案】C
【解析】 电场线与等势面垂直，且电场线由电势高指向电势低的方向。所以图中电场线方向应该向左，因为带电粒子由A运动到C，且方向逐渐向曲线内侧靠拢，所以粒子运动方向和电场线方向一致，所以带正电。故A错误。
A点电势能小于C，所以B错。由于AB,BC电势差一样，所以电场力做功也一样。等势线密集的地方电场强度大，故C正确。
匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H，为立方体的八个顶点。已知GFBD点的电势分别为5、1、2、4v，则A点的电势为（）
A.0V B.1V C.2V D.3V
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【解析】
当在匀强电场中沿电场线方向距离相等时，电势差必定相等，因为GF//CB,GF=CB,所以$\varphi_G-\varphi_F=\varphi_C-\varphi_B$
解得：$\varphi_C=\varphi_G-\varphi_F+\varphi_B=5v-1v+2=6v$
同理可知 $\varphi_A-\varphi_B=\varphi_D-\varphi_C$
解得：$\varphi_A-\varphi_B=\varphi_D-\varphi_C=2v+4v-6v=0$
方法二如右图
静电场的方向平行于x轴，沿x轴上各点的场强与位置关系如图所示。一质子仅受电场力，由O点静止释放，沿x轴正方向运动，已知$Oa=ab=bc=L$，$\varphi _b =0$
A.a点的电势为$E_0L$
B.质子在O点和d点的电势能相等
C.质子在abc三点的动能之比为1：2：3
D.质子从O点到b点先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动
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【答案】AC
【解析】质子一直加速运动，动能一直增加，增加的动能就是减少的电势能，因为b的电势为0，图像围成的面积就是电势差，故$\varphi_0=U_{ab}=E_0L$.故A正确，B错误。因为Oa=ab=bc，围成的面积相同，电势差也相同，那么每次做功增加量都一样，根据 W=UQ所以动能1：2：3 ；质子只受到电场力的作用，$F=Eq=ma$，因为电场是变化的，所以加速度不是定值，D错误。
如图所示的水平匀强电场中，将两个带电小球M和N分别沿图示路径移动到同一水平线上的不同位置，释放后，MN保持静止，不计重力，则（）
A．M的带电量比N大
B．M带负电荷，N带正电荷
C．静止时M受到的合力比N大
D．移动过程中匀强电场对M做负功
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【答案】D
【解析】
由释放后移动到M、N均保持静止知所受合力为零，M和N受到的电场力同M、N之间的库仑力平衡，二者大小相等、方向相反，分析可知M带负电荷，N带正电荷，且M、N带电量相等，故A、B错误；静止时M、N受到的合力均为零，故C错误；因N带正电，所受电场力方向向右，与位移方向夹角为钝角，所以做正功。故选D。
一均匀带电的绝缘球球心位于坐标原点O,规定x轴的正方向为电场正方向,则沿x轴的电场强度如图所示，下列说法正确的是
A.球体半径大小为$x_0$
B.$x>x_0$时,电场方向沿x轴负方向
C.$x=x_2$位置比$x=x_1$位置电势低
D.$x=-x_0$位置与$x=x_0$位置电势相等
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【答案】AD
【解析】
设绝缘球半径为$R$，总的电荷量为$Q$，则绝缘球内部电场的强度
$$E=k\dfrac{q}{x^2}=\dfrac{Q\dfrac{{x}^3}{R^3}}{x^2}=k\dfrac{xQ}{R^3}$$
$E$与$x$成正比，故A正确。
根据题意，知球是带正电，电场方向在在x正轴一直为正，在x负轴方向一直为负。 B错误。
沿电场线方向电势降低，结合对称性，$x_2$比$x_1$电势高。
根据点电荷的电场线分布知$x=-x_0$位置与$x=x_0$位置电势相等，故D正确。
【扩展训练】
四个带电粒子的电荷量和质量分别为（+q，m）、（+q，2m）、（+3q，3m）、（−q，m），它们先后以相同的速度从坐标原点沿 x 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与 y 轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是（ ）
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【解析】 带电粒子垂直进入匀强电场做类平抛运动，设水平位移为x，垂直位移为y，初速度为v0 ，则轨迹方程为
$y=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{Eq}{m}(\dfrac{x}{v_0})^2=\dfrac{Eqx^2}{2mv_0^2}$
由于粒子的初速度相同，粒子的轨迹取决于$\dfrac{q}{m}$和电性。电荷个质量比值一样的（+q，m）、（+3q，3m）轨迹重合，且（+q，m）、（-q，m）、轨迹与x轴对称，（+q，m）比（+q，2m）弯曲度大，故选AD。
半径为R1和R2（R2>R1）的两无限长竖直同轴圆柱面，单位长度上分别带有等量异种电荷如题图1所示，内圆柱面带正电。已知电场强度沿某一水平半径的分布情况如图2所示，当r<R1及r>R2时电场强度均为零，A、B分别为靠近内外圆柱面且同一半径上的两点，则（ ）
A．内圆柱面内各点电势可能不等
B．负试探电荷在A点时的电势能比在B点时的电势能大
C．A、B中点处的电场强度大于$\dfrac{E_A+E_B}{2}$
D．A、B两点的电势差小于$\dfrac{(E_A+E_B)(R_2-R_1)}{2}$
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【答案】D
【解析】A．内圆柱面和外圆柱面都是等势面，柱面上各点电势都相等，选项A错误；
B．电场线由A指向B，则A点电势高，则负试探电荷在A点时的电势能比在B点时的电势能小，选项B错误；
C．由图像可知，A、B中点处的电场强度小于$\dfrac{E_A+E_B}{2}$，选项C错误；
D．根据U=Ed，可知E-r图像与坐标轴围成的面积等于电势差，若从A到B的E–r图像为直线，则A、B两点的电势差等于$\dfrac{(E_A+E_B)(R_2-R_1)}{2}$
而此时图像的面积小于可知，A、B两点的电势差小于$\dfrac{(E_A+E_B)(R_2-R_1)}{2}$，选项D正确。
如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度 $E=\dfrac{mg tan\theta}{ q}$
B．小球动能的最小值为$E_k=\dfrac{mgL}{ 2cos \theta}$
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
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【答案】AB
【解析】A．小球静止时悬线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有$mg tan \theta =qE$
解得$E=\dfrac{mg tan\theta}{ q}$ 选项A正确；
B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有$\dfrac{mg}{cos \theta}=m \dfrac{v^2}{L}$
则最小动能$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{mgL}{ 2cos \theta}$ 选项B正确；
C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误。
离子推进器已经全面应用于我国航天器，其工作原理如图所示，推进剂氙原子$P$喷注入腔室$C$后，被电子枪$G$ 射出的电子碰撞而电离，成为带正电的氙离子。氙离子从腔室$C$中飘移过栅电极$A$的速度大小可忽略不计，在栅电极$A$、$B$之间的电场中加速，并从栅电极 $B$ 喷出。在加速氙离子的过程中飞船获得反推力。已知栅电极A、B之间的电压为U，氙离子的质量为 m、电荷量为 q，AB 间距为 d，推进器单位时间内喷射的氙离子数目 n。则喷射离子过程中，对推进器产生的反冲作用力大小为（ ）
A．$n\sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$ B．$nm\sqrt{2qU}$ C．$n\sqrt{2mqU}$ D．$n\sqrt{\dfrac{2m}{qU}}$
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【答案】C
【解析】 氙离子在栅电极A、B间经历直线加速过程，根据动能定理有
$qU=\dfrac{1}{2}mv^2$
解得 $\sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$
由动量定理得 $$ F\Delta t=n \Delta t mv$$
解$n\sqrt{\dfrac{2m}{qU}}$
本题意在训练感觉，以后做题看到这这种就要知道时间和质量的关系。
如图所示，在竖直平面内xOy坐标系中分布着与水平方向成45°角的匀强电场，将一质量为m、带电荷量为q的小球，以某一初速度从O点竖直向上抛出，它的轨迹恰好满足抛物线方程x=ky2，且小球通过点P，已知重力加速度为g，则（ ）
A．电场强度的大小$\dfrac{mg}{q}$
B．小球初速度的大小为$\sqrt {\dfrac{g}{2k}}$
C．小球通过点P时的动能为$\dfrac{5mg}{4k}$
D．小球从O点运动到P点的过程中，电势能减少$\dfrac{\sqrt{2}mg}{k}$
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【答案】BC
【解析】A．小球做类平抛运动，则电场力与重力的合力沿x轴正方向，可知qE=mg$qE=mg$
电场强度的大小为$E= \dfrac{\sqrt{2}mg}{q}$故A错误；
B．因为F合=mg=ma
所以a=g
由类平抛运动规律有
$ \dfrac{1}{K}=v_0t, \dfrac{1}{K}= \dfrac{1}{2}gt^2$
得小球初速度大小为$v_0\sqrt{\dfrac{g}{2k}}$故B正确；
C．由P点的坐标分析可知$\dfrac{v_0}{v_x}=\dfrac{1}{2}$
所以小球通过点P时的动能为
$\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m(v_0^2+v_x^2)=\dfrac{5mg}{4k}$故C正确；
D．小球从O到P过程中电势能减少，且减少的电势能等于电场力做的功，即
$W=qE\dfrac{1}{K}\dfrac{1}{cos 45^\circ}=\dfrac{2mg}{k}$故D错误。
绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电荷量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知A处电荷的电荷量为＋Q，图甲是A、B连线之间的电势φ与位置x之间的关系图像，图中x＝L处对应图线的最低点，x＝－2L处的纵坐标φ＝2φ0，x＝2L处的纵坐标φ＝$\frac{6}{7}$φ0，若在x＝－2L处的C点由静止释放一个质量为m、电荷量为＋q的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动（假设此带电物块不影响原电场分布），求：
（1）固定在B处的电荷的电荷量QB；
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ为多大，才能使小物块恰好到达x＝2L处？
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数$u=\dfrac{kQq}{12mgL^2}$，小物块运动到何处时速度最大？
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【解析】（1）由题图乙得x＝L处为图线的最低点，切线斜率为零，即合场强为0，则有
$k\dfrac{Q_A}{r_A^2}=k\dfrac{Q_B}{r_B^2}$
代入数据得$Q_B=\dfrac{Q_A}{4}=\dfrac{Q}{4}$
（2）从x＝－2L到x＝2L的过程中，物块先做加速运动再做减速运动，由动能定理得，能量守恒经常用于处理运动问题。
$qU_1=\mu mgs_1$
即
$q(2\varphi_0 -\dfrac{6}{7}\varphi_0)=\mu mg(4L)$
解得
$\mu = \dfrac{2q\varphi_0}{7mgL}$
（3）小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为LA，则有
$k\dfrac{Q_Aq}{L_A^2}-k\dfrac{Q_Bq}{(6L-L_A)^2}=\mu mg$
带入数据简化
$\dfrac{4}{9L_A^2}-\dfrac{1}{(5L-L_A)^2}=\dfrac{1}{12L^2}$
此步骤鲜有人解出，作为高三学生最需要的就是训练计算能力，因为大多数人都会望而却步，物理层面一般考的不是纯计算能力，该猜就猜，LA肯定是整数，而且小于6，差值是12分之1，那么先试一下3L，验证正确，所以答案是，你在试卷上写：
解得$L_A=3L$
如图所示，两个等量正点电荷固定于M、N两点，边长与MN之间距离相等的正方形abcd位于与M、N连线垂直的平面上，e、f分别是ad、bc的中点，O怡好是MN和ef的中点。已知点电荷电场中某点$\varphi$（$\varphi=k\dfrac{Q}{r}$导），Q为点电荷的电荷量，r为电场中某点到点电荷的距离，k为静电力常量。下列说法正确的是( )
A.b、d两点电场强度相同
B.沿正方形abcd四边移动电荷，电场力不做功
C.O点与e点的电势差等于e点与a点的电势差
D.将试探电荷+q由a点沿直线ac移动到c点，其电势能先增大后减小
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【答案】D
【解析】要重新理解什么是势能。
势能的定义：在力的方向上，因为位置不同而具有的能。
衡量势能的大小：在某位置开始运动，直到不能在运动了，这个过程所做的功就是势能。
