质点的直线运动经典例题
附带计算过程，所有图片都是LaTeX代码绘制
质点的直线运动例题
(2021·全国甲卷·14)如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上．横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变．将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关．若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
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【答案】D
【解析】方法1：设PQ的水平距离为L，由运动学公式可知$\frac{L}{cos\theta}=\frac{1}{2} sin \theta t^2$，可得$t^2=\frac{4L}{gsin2\theta }$。θ＝45°时t有最小值，故当θ由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t先减小后增大。
方法2：还记得等时圆模型吧，显然A、B落地的时间一样，那肯定是先减小再增大。
质点做直线运动的位置x与时间t的关系为$x＝6+5t+t^2$ (各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点 ( )
A．第1 s内的位移是12 m
B．前2 s内的平均速度是7m/s
C．任意相邻的1 s内位移差都是2m
D．任意1 s内的速度增量都是2 m/s
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【答案】BCD
【解析】
这题很怪，和平时刷的题不同，因为多了一个6，使得无从下手。这其实就是出题人故意折磨人而已，本人极其厌恶这样出题，科技的发展向来都是靠寻一个又一个当下最简单有效的解决方案，从来没见过有谁故意提高难度解决问题的，如果有那一定会被淘汰。这道题一定要仔细研究，亲自计算两种方案，知道数据完全正确，计算力往往就是细心的体现。解法1：做题先思考，如果能发现“位置”而不是“位移”，并且$x＝6+5t+t_2$ 与 $x＝5t+t_2$式子的不同，应该能意识到6是始坐标而已，初始速度是5m/s，加速度是2m/s2，余下计算和6没什么关系。
A、第一秒内的位移是$x＝5t+t_2=5 \times 1s +1=6 $ 错误
B、前2s内的平均速度等于就是第1s末速度，$v_1=5m/s +2m/s^2 \times1s=7m/s $，当然也可以平均值 $x_2=（6+5\times2+4）m-6m=14m$，$v=\frac{x_2}{t_2}=\frac{14}{2}=7m/s$ 正确
C．加速度为$2m/s^2$的位移表达为$x=t^2$，相同时间位移差自然就是2m。正确
D．加速为2$m/s^2$正确。
解法2：
解决问题的方法永远不可能只有一种，如果陷入某个思维不能自拔，不如跳出来，直接列出来。$x＝6+5t+t_2$ 把时间带进去，画一个坐标即可。
A、第一秒内的位移差是6m
B、周期是1，前两秒位移（8+6）÷2=7 m/s
C、位移差是2m
D、$\Delta x =at^2 \quad \Delta x =2 $解得a=2m/s2
（2019·广东深圳市·红岭中学高考模拟）如图所示是一做匀变速直线运动的质点的位置–时间图象（x–t图象），P（t1，x1）为图象上一点．PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q（0，x2）．已知t=0时质点的速度大小为v0，则下列说法正确的是
A．t1时刻，质点的速率为$\frac{x_1}{t_1}$
B．t1时刻，质点的速率为$\frac{x_2}{t_1}$
C．质点的加速度大小为$\frac{x_1-x_2}{t^2}-\frac{v_0}{t_1}$
D．质点的加速度大小为$\frac{x_1-x_2}{t-1^2}$
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【答案】 C
【解析】
$x–t $图象的斜率表示速度，则$t_1$时刻，质点的速率为$\frac{x_1-x_2}{t^2}$，根据加速度定义$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{v-v_0}{t_1} = { \frac{x_1-x_2}{t_1}-v_0 \over t_1}=\frac{x_1-x_2}{t^2}-\frac{v_0}{t_1}$
没有思路的时候就去找定义，从定义出发用简单的逻辑去整理，所有的学生一定要自己推算到正确！取一根长2m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘，在线端系上第一个垫圈，隔12cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36cm，60cm，84cm，如图所示，站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内，松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5各垫圈( )
A．落到盘上的声音时间间隔相等
B．落到盘上的声音时间间隔越来越大
C．依次落到盘上的速率关系为 $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:2$
D．依次落到盘上的时间关系为$1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(2-\sqrt{3})$
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【答案】A
【解析】5个铁垫圈同时做自由落体运动，下降的位移之比为1：3：5：7．可以看成一个铁垫圈自由下落，经过位移之比为1：3：5：7．因为初速度为零的匀加速直线运动在相等时间内的位移之比为1：3：5：7，知各垫圈落到盘中的时间间隔相等，故A正确
甲、乙两辆车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度$v_1$做匀速直线运动，后一半时间内以速度$v_2$做匀速直线运动；乙车在前一半路程内以速度$v_1$做匀速直线运动，后一半路程内以速度$v_2$做匀速直线运动，则（ ）
A．甲先到达 B．乙先到达 C．甲乙同时到达 D．不能确定
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【答案】 A
【解析】方法1：分析甲车运动情况：设甲车所用时间为t，前一半的位移为$x_1$，后一半位移为$x_2$，则$x_1=v_1\times\frac{t}{2}$，$x_2=v_2\times\frac{t}{2}$,由平均速度公式得$v_{\text{甲}}=\frac{v_1+v_2}{2}$。分析乙车运动情况：设整段位移为x，前一半位移用时为$t_1$,由位移公式x=vt得，前半段位移用时为$t_1=\frac{x}{2v_1},t_2=\frac{x}{2v_2}$,由平均速度公式得$v_y=\frac{x}{t_1+t_2}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$。又因为$$ V_{\text{甲}} – v_{\text{乙}}=\frac{v_1+v_2}{2}-\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}=\frac{(v_1-v_2)^2}{2(v_1+v_2)}>0$$，所以甲先到。
方法2：甲图前后时间一样，平均速度等于$v=\frac{v_1+v_2}{2}$,乙图中可以在$v_1$过程中截取一段时间和$v_2$过程相等，那么$2t_0$这段时间的平均速度和甲一样，余下部分的速度肯定小于$v=\frac{v_1+v_2}{2}$，所以平均速度必然小于甲。
方法3：直接赋值计算，碰到任何问题都要多想一下，肯定会有答案。
一物体在做匀加速直线运动，通过一段大小为15m的位移所用的时间为5s，紧接着通过下一段大小为15m的位移所用的时间为3是，则物体运动的加速度大小为（）
A、5m/s B、3m/s C、2m/s D、0.5m/s
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【答案】 D
【解析】
画图是解决直线运动题的法宝，画一条直线，上面写距离，下面标时间，平均速度等于中间时刻速度，$\bar v_1 =\frac{15}{5}=3$，$\bar v_2 =\frac{15}{3}=5$,
$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{5m/s-2m/s}{2.5s+1.5s}=0.5m/s$$
(2021·山东济南市高三期末)伽利略在研究匀变速直线运动规律时，让小球从斜面的不同位置自由滚下，观测出小球从不同起点运动到底端的位移x与所对应的时间t，画出x－t2图象．设小球运动的加速度为a，则图象的斜率为( )
A. $\frac{1}{2}a^2$ B．a C.$\frac{1}{a} $ D.$\frac{2}{a}$
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【答案】 A
【解析】
很多高中题目专门把人往傻的方向逼，这种思维在现实中往往没有任何用处，为了适应这些sb不得不去适应，这就是其中一种体现，我们可以适应，但是这绝不是真理。小球从静止开始沿斜面向下做匀加速运动，位移—时间关系为$x=\frac{1}{2}at^2$，即x与$t^2$成正比，所以$x-t^2$图象是一条过原点的直线，直线的斜率为2a.故选A.
一质量为m=2000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶．行驶过程中，司机忽然发现前方100 m处有一警示牌．立即刹车．刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线．图（a）中，0~t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8 s；t1~t2时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3 s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从t2时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m．
（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图线；
（2）求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1~t2时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以t1~t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？
【解析】
这是一个非常经典的题，一种最后一秒内就已经停止的模型。（1）
（2）先判断一下是不是正好最后一秒正好停止。
右图很明显可以看出，最后一秒没到重点就已经停止了。
逆向思维是学习物理，乃至生活中都非常有用的一种思维方式，可以大大简化问题，让事物变成我们熟悉的直觉去解释。根据题意，我们可以轻松的画出时间轴。
我们假设0-1s的时间差值为$\Delta t$
$\frac{1}{2}a\Delta t^2=1$
$v_0 t+\frac{1}{2}at^2=24$
$v_0=(\Delta t+2)a$
多数人都可以列出这个等式，但是无法解出来，我们要求的是a，所以只需要把$t=\sqrt{\frac{2}{a}}$带入，最终得到。
$$2\sqrt{2a}+5a=48$$
计算力强的或许可以算出来，不强的就懵逼了，其实我们可以靠直觉，想想看，这是物理题不是数学，它不会考你数学的计算力的，既然48是整数，那么根号下的一定是整数，猜一下也知道$a=8m/s$,$v2=28 m/s$
（3）设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为$f$，由牛顿定律有：$f=ma$在t1~t2时间内，阻力是均匀变化的，所以取平均值，对汽车冲量的大小为：
$I=\frac{1}{2}(t_1-t_2)$
由动量定理有：$I=\Delta p=mv_1-mv-2$
由动能定理，在t1~t2时间内，汽车克服阻力做的功为：$W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2$
联立，代入已知数据解得
v1=30 m/s⑬
$W=1.16\times10^5$
从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为
$$s=v_1t_1+\frac{1}{2}(v_1+v_2)(t_2-t_1)+\frac{v_2^2}{2a}$$
代入已知数据解得
s=87.5 m
一个小球从O点由静止开始做匀加速运动，PQ、QN时间相等，PQ距离2m，QN距离5m，求OP的距离？
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【答案】 $\dfrac{1}{24}$
【解析】
$Delta X = at^2$
$5-2=at^2$
PN的平均速度等于Q点的瞬时速度：
$v = \dfrac{2+5}{2t}$
$v^2=2ax$
$OP=x-2$
解得：OP=$\dfrac{1}{24}$
一辆汽车由静止开始做初速度为零的匀加速直线运动，速度增大到25m/s后做匀速直线运动，已知汽车前5s内的位移为75m，则汽车匀加速运动的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
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【答案】B
【解析】：方程思维最简单，假设加速度为a，匀加速时间为t，列等式之前一定要进行简单的判断，如果5s一直加速，x=25/2×5=62.5.所以一定有一段是匀加速。则可列等式，
$25（5-t）+\frac{1}{2}25t=75$
t=4s 故选.B