牛顿运动定律的应用及计算题

【答案】(1)1 m/s，方向与B的初速度方向相同    (2)1.9 m

【解析】(1)滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动．设A、B和木板间所受的摩擦力的大小分别为f₁、f₂，木板与地面间的摩擦力的大小为f₃，A、B、木板相对于地面的加速度大小分别是a_A、a_B和a₁，在滑块B与木板达到共同速度前有：

$f_1＝\mu _1m_Ag$…….①

$f_2＝\mu_1m_Bg$……②

$f_3＝\mu_2(m_A＋m_B＋m)g$……③

由牛顿第二定律得$f_1＝m_Aa_A$……④

$f_2＝m_Ba_B$……..⑤

$f_2－f_1－f_3＝ma_1$…..⑥

设在t₁时刻，B与木板达到共同速度，设大小为v₁.由运动学公式有$v_1＝v0－a_Bt_1$…..⑦

$v_1＝a_1t_1$…….⑧

联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入数据得v₁＝1 m/s，方向B的初速度方向相同．

(2)在t₁时间间隔内，B相对于地面移动的距离为$s_B＝v_0t_1－\dfrac{1}{2}a_B t_1^2$…..⑨

设在B与木板达到共同速度v₁后，木板的加速度大小为a₂，对于B与木板组成的体系，由牛顿第二定律有$f_1＋f_3＝(m_B＋m)a_2$……⑩

由①②④⑤式知，a_A＝a_B；再由⑦⑧可知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v₁，但运动方向与木板相反，由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v₂，设A的速度大小从v₁变到v₂所用的时间为t₂，根据运动学公式，对木板有

$v_2＝v_1－a_2t_2$…….⑪

对A有$v_2＝－v_1＋a_At_2$…..⑫

在t₂时间间隔内，B(以及木板)相对地面移动的距离为$s_1＝v_1t_2－\dfrac{1}{2}a_2t^2$…….⑬

在(t₁＋t₂)时间间隔内，A相对地面移动的距离为$s_A＝v_0(t_1＋t_2)－\dfrac{1}{2}a_A(t_1＋t_2)^2$…….⑭

A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同，因此A和B开始运动时，两者之间的距离为$s_0＝s_A＋s_1＋s_B$…….⑮

联立以上各式，并代入数据得

s₀＝1.9 m．(也可用如图所示的速度—时间图象求解)

【答案】（1）0.20；（2）0.30 ; （3）1.125 m

【解析】

试题分析：（1）从t=0 s时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止。

由图可知，在t₁=0.5 s时，物块和木板的速度相同。设t=0到t=t₁时间间隔内，物块和木板的加速度大小分别为a₁和a₂，则：

$a_1=\dfrac{v_1}{t_1}$①

$a_2=\dfrac{v_0-v_1}{t_1}$②

式中v₀=5 m/s、v₁=1 m/s分别为木板在t=0、t=t₁时速度的大小。

设物块和木板的质量为m，物块和木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ₁、μ₂，由牛顿第二定律得：

 $\mu mg=ma_1 $③

 $(\mu_1+2\mu_2)mg=ma_1$④

联立①②③④式得：⑤  μ₁=0.20       ⑥μ₂ =0.30

（2）在t₁时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向。设物块与木板之间的摩擦力大小为f，物块和木板的加速度大小分别为a₁‘和a₂‘，则由牛顿第二定律得：

$f=ma_1’$ ⑦           

$2\mu_2mg-f=ma_2’$⑧

假设f<μ₁mg，则a₁‘=a₂‘；由⑤⑥⑦⑧式得f=μ₂mg>μ₁mg，与假设矛盾。

故：$f=\mu_1mg$⑨

由⑦⑨式可知，物块加速度的大小等于a₁；物块的v-t图像如图中点划线所示。由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为：

$s_1=2\dfrac{v_1^2}{2a_1}$

$s_2=2\dfrac{v_0+v_1}{2}t_1 +\dfrac{v_1^2}{2a_2′}$，

物块相对于木板的位移的大小为：$s=s_2-s_1$

联立以上式解得：s=1.125 m

【答案】　(1) 4 m/s　(2) 4 m　(3) 4.5 s

【解析】　(1)从A到B过程，根据牛顿第二定律有

$\mu_1mgcos 37°－mgsin 37°＝ma_1$

解得:$a_1＝0.4 m/s^2$

根据速度位移公式有$v_B^2－v_0^2＝－2a_1L_1$

解得v_B＝4 m/s

(2)从B到静止过程，根据牛顿第二定律有$\mu_2mg＝ma_2$

$0－v_B^2＝－2a_2x_1$

解得x₁＝4 m

(3)从B到速度减为零的过程，根据运动学公式有

$t_1=\dfrac{0-v_B}{-a_2}s=2s$

从速度减为零开始向左运动过程

$v_2^2－0＝2a__2x_2$，$x_2＝1 m<4 m$

则箱子先匀加速1 m后匀速运动$t_2=\dfrac{v_2-0}{a_2}=1s$

匀速运动到B过程x₃＝x₁－x₂＝3 m，$t_3=\dfrac{x_3}{v_2}=1.5s$

因为μ₁mgcos 37°>mgsin 37°，所以箱子最后会停在斜面上，t_总＝t₁＋t₂＋t₃＝4.5 s.

【答案】　(1)4 m/s²　0.5 m/s²　(2)2.25 m    (3)1.5 s　2.625 m

【解析】　(1)对木块受力分析知木块做减速运动，设其加速度大小为a₁，则由牛顿第二定律可得

$\mu_1mg＝ma_1$(1分)

代入数据解得a₁＝4 m/s²(1分)

对木板受力分析，设木板加速度大小为a₂，由牛顿第二定律可得

$\mu_1mg－\mu_2(m＋m_0)g＝m_0a_2$(2分)

代入数据解得a₂＝0.5 m/s²(2分)

(2)设经过时间t₁二者共速，则有

$v_0－a_1t_1＝a_2t_1$(1分)

解得$t_1＝1 s$(1分)

设其共速时的速度大小为v₁，则有v₁＝a₂t₁，

解得v₁＝0.5 m/s(1分)

t₁时间内木块的位移为$x_1＝\dfrac{v_0+v_1}{2}t_1$(1分)

解得x₁＝2.5 m(1分)

木板的位移为$x_2＝\dfrac{v_1}{2}t_1$(1分)

解得x₂＝0.25 m(1分)

所以木板的长度为$L＝x_1－x_2＝2.25 m$(1分)

(3)木块与木板共速后，二者一起减速运动，加速度大小为

$a_3＝μ2g＝1 m/s^2$(1分)

设再经过时间t₂停止，则有$v_1＝a_3t_2$(1分)

代入数据解得$t_2＝0.5 s$(1分)

故木块运动的总时间为$t＝t_1＋t_2＝1.5 s$(1分)

木块运动的总位移为$x＝x_1＋\dfrac{v_1}{2}t_2$(1分)

解得x＝2.625 m(1分)

【答案】（1）$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ；（2）60°，$\dfrac{\sqrt{3}v_0^2}{4g}$

【解析】解：（1）当θ=30°时，木块处于平衡状态，对木块受力分析

$mgsin\theta$=\mu F_N$

$F_N-mgcos\theta=0$解得

$\mu=tan \theta =tan 30°=\dfrac{sqrt{3}}{3}$

（2）当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则

$-mgsin \theta – \mu mgcos \theta=ma$

由

$0-v_0^2=2ax$

得

$x=\dfrac{v_0^2}{2g(sin \theta + \mu cos \theta)}=\dfrac{v_0^2}{2g\sqrt{1+\mu^2}sin(\theta+a)}$

其中tan α=μ，则当α＋θ=90°时x最小，即θ=60°，所以x最小值

$x_{min}=\dfrac{v_0^2}{2g(sin60°+\mu cos60°)}=\dfrac{\sqrt{3}v_0^2}{4g}$

（1）管第一次落地弹起时，管瞬间向上运动，受到自身重力以及摩擦力，所以管的加速度$a_1=\dfrac{4mg+4mg}{4m}=2g$方向向下。球受到向上的摩擦力和向下的重力，球加速度$a_2=\dfrac{f-mg}{m}=\dfrac{4mg-mg}{m}=3g$方向向上。

（2）取竖直向下为正方向．球与管第一次碰地时速度$v_0=\sqrt{2gH}$ ，方向向下．碰地后管的速度$v_1=- \sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度$v_2=\sqrt{2gH}$，方向向下若球刚好没有从管中滑出，设经过时间$t_1$，球管速度v相同，则有

$$-v_1+a_1t_1=v_2-a_2 {t_1}^2$$

$$-\sqrt{2gH}-2gt_1=\sqrt{2gH}+3mgt_1$$

$$2\sqrt{2gH}=5mgt_1$$

$$t_1=\frac{2}{5}\sqrt{\frac{2H}{g}}$$

此时管下端的高度为$h_1=v_0 t_1-\frac{1}{2} {a_1} {t_1}^2$ 带入数据

$$h_1=\frac{12}{25}H$$

此后管和球共速上升$v_g=v_0-a_2 t_1=\frac{1}{5} \sqrt{2gH}$

共速上升的高度 $$h_2=\frac{v_g ^2}{2g}=\frac{1}{25}H$$

管上升的最大高度$H_1$$$H_1=h_1+h_2=\frac{13}{25}H $$

（3）设第一次弹起过程中球相对于管的位移$x_1$，在管开始下落到上升到$H_1$的过程中，由动能减少量等于摩擦力做功

$$Mg(H-H_1+mg(H-h_1 + x_1)-4mg x_1=0$$

$$x_1= \frac{4}{5}H_1$$
即L应满足条件$x_1 +x_2 \leq L$

$$\frac{4}{5}H +\frac{4}{5}H_1\leq L$$

$$\frac{4}{5}H +\frac{4}{5} \frac{13}{25}H\leq L$$

$$\frac{152}{125}H\leq L$$