力的合成与分解

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例题

【知识点二】静态平衡问题

1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a＝0.

2．平衡条件：F_合＝0或Fy＝0(Fx＝0).

对于共点力，无论多少个力只要能收尾相连，那么最小合力就可以为0，对于三个力的共点力，只要能围成三角形，最小合力就是0，最大合力就是三个力的和。

在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和,，所以即便是三个力，一旦两个力的和不能大于第三边，合力最小值不是0.

例题：已知三个力分别为2N，3N，7N，那么合力最小值 和最大值分别是多少！
解答：最小值7-2-3=2N，因为2、3、7不能组成三角形，所以最小值不可能是0N，最大值2+3+7=12N

3．平衡条件的推论

如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反．

【例】(2020·安徽庐巢七校联盟第三次联考)如图甲所示， A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为$\sqrt{3}$：1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F₁和水平向左的力F₂，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则(　　)

A.F₁＝F₂  B.F₁＝$\sqrt{3}$F₂ C.F₁＝2F₂  D.F₁＝3F₂

【解析】　由题意知两轻绳OA和AB的长度之比为$\sqrt{3}$∶1，B球恰好在悬点O的正下方，由几何关系可知，OA与AB垂直；以B球为研究对象，受力示意图如图甲所示，由平衡条件得

F₂＝mgtan(90°－30°)＝$\sqrt{3}$mg

以A、B两球整体为研究对象，受力示意图如图乙所示，由平衡条件得

F₁－F₂＝3mgtan 30°＝$\sqrt{3}$mg

可得F₁＝2$\sqrt{3}$mg，即F₁＝2F₂，故C正确。

【知识点三】共点力作用下物体的动态平衡

1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。这是一类难度较高的题目。

2．分析动态平衡问题的方法

方法	步骤
解析法	(1)列平衡方程得出未知量与已知量的关系表达式；(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法	(1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三角形法	(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；(2)确定未知量大小的变化情况

【例】(多选)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为F_N，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是(　　)

A．$F=\frac{mg}{tan\theta}$ B．$F＝mgt an \theta$

C．$F=\frac{mg}{sin\theta}$ D．$F_N＝mg tan \theta$

思路点拨：解此题的关键是选取小滑块为研究对象，作好受力分析，根据平衡条件求解。

【答案】AC

【解析】方法一：合成法

滑块受力如图甲，由平衡条件知$ \frac{mg}{F}$＝tan θ，

所以$F=\frac{mg}{tan\theta}$，$F=\frac{mg}{sin\theta}$。

方法二：效果分解法

将重力按产生的效果分解，如图乙所示，

F＝G₂＝$F=\frac{mg}{tan\theta}$，F_N＝G₁＝$F=\frac{mg}{sin\theta}$。

方法三：正交分解法

将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，

mg＝F_Nsin θ，F＝F_Ncos θ，

联立解得$F=\frac{mg}{tan\theta}$，$F=\frac{mg}{sin\theta}$

方法四：力的三角形定则法

滑块受到的三个力可组成封闭的三角形，如图丁所示，则由几何关系可得$F=\frac{mg}{tan\theta}$,$F=\frac{mg}{sin\theta}$

三．讲关键能力

【能力点】.会分平衡中的临界与极值问题

1.临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。

【例题】(2020·河北保定市二模)某位同学用筷子将均匀球夹起悬停在空中，如图9所示，已知球心O与两根筷子在同一竖直面内，小球质量为m，筷子与竖直方向之间的夹角均为θ，筷子与小球表面间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度为g。每根筷子对小球的压力至少为(　　)

A.$ \frac{mg}{2（\mu sin\theta – cos\theta）}$( B.$\frac{mg}{2 （\mu cos \theta – sin \theta）}$(

C.$ \frac{mg}{ 2(\mu cos \theta + sin\theta）}$( ( D.$ \frac{mg}{2 （\mu sin\theta -cos\theta）}$(

【答案】　B

【解析】　对小球受力分析

2F_fcos θ＝mg＋2F_Nsin θ

F_f＝μF_N解得F_N＝$\frac{mg}{2 （\mu cos \theta – sin \theta）}$(

2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

【例】(2021·广东汕头市第一次模拟)如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，将一均匀圆柱体O放在两板间。在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(　　)

A.当BP沿水平方向时，BP板受到的压力最大
B.当BP沿竖直方向时，AP板受到的压力最大
C.当BP沿竖直方向时，BP板受到的压力最小
D.当BP板与AP板垂直时，AP板受到的压力最小

【答案】　B

【解析】　小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F₁和F₂的合力F一定与重力等值、反向、共线。所以画图时一定要保持重力的长度不变，其他两个力始终在同一个参考系中，这样就可以很方便从图中可以看出力的变化，F₁越来越大，F₂先变小，后变大，到竖直位置时，F₂＞mg，故选项B正确，A、C、D错误。

3.解题方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。

(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。

【例2】

四．讲模型思想

“挂件衣钩滑轮”类模型——-正Y模型，死结活结模型。

跨过光滑滑轮(挂钩)的绳上的拉力大小相等

(1)如图甲，绳子左端固定，右端从B点移到C点，两个端点之间水平距离变小，绳子夹角变小，拉力也变小．

(2)如图甲，绳子左端固定，右端从B点移到D点，两个端点之间水平距离不变，绳子夹角不变，拉力也不变．

(3)如图乙，轻杆AB两端连接有轻绳，从水平位置转一个角θ(小于90°)，两根绳子之间的夹角变小，所以拉力变小．

【例】(2020·山东青岛十七中模拟)如图所示，在竖直平面内一根不可伸长的柔软轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物．轻绳一端固定在墙壁上的A点，另一端从墙壁上的B点先沿着墙壁缓慢移到C点，后由C点缓慢移到D点，不计一切摩擦，且墙壁BC段竖直，CD段水平，在此过程中关于轻绳的拉力F的变化情况，下列说法正确的是(　　)

A．F一直减小   B．F一直增大

C．F先增大后减小   D．F先不变后增大

【答案】　D

【解析】　设轻绳总长为L，两竖直墙壁间的距离为s，两段轻绳之间的夹角为2θ，同一根轻绳拉力相等，所以每根轻绳与竖直方向的夹角均为θ，如图所示，根据平衡条件可得：$2Fcos\theta = mg$，所以$F= \frac{mg}{2cos \theta}$

根据图中几何关系结合数学知识得到sin θ＝$\frac{s}{L}$；

当轻绳的右端从B点移到C点时，L、s不变，则$\theta$保持不变，则F不变；当轻绳的右端从C点移到D点时，s增大，L不变，θ变大，$cos \theta$变小，则F 增大．所以绳子拉力变化情况为：先不变后增大，故D正确．