如图所示，一个质量为M长为L的圆管竖直放置，顶端塞有一个质量为m的弹性小球，M=4m，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．管从下端离地面距离为H处自由落下，运动过程中，管始终保持竖直，每次落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等，不计空气阻力，重力加速度为g．求： （1）管第一次落地弹起时管和球的加速度； （2）管第一次落地弹起后，若球没有从管中滑出，则球与管达到相同速度时，管上升的最大高度。 （3）管第二次弹起后球不致滑落，L应满足什么条件． （1）管第一次落地弹起时，管瞬间向上运动，受到自身重力以及摩擦力，所以管的加速度$a_1=\frac{4mg+4mg}{4m}=2g$方向向下。球受到向上的摩擦力和向下的重力，球加速度$a_2=\frac{f-mg}{m}=\frac{4mg-mg}{m}=3g$方向向上。 （2）取竖直向下为正方向．球与管第一次碰地时速度$v_0=\sqrt{2gH}$ ，方向向下．碰地后管的速度$v_1=- \sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度$v_2=\sqrt{2gH}$，方向向下若球刚好没有从管中滑出，设经过时间$t_1$，球管速度v相同，则有 $$-v_1+a_1t_1=v_2-a_2 {t_1}^2$$ $$-\sqrt{2gH}-2gt_1=\sqrt{2gH}+3mgt_1$$ $$2\sqrt{2gH}=5mgt_1$$ $$t_1=\frac{2}{5}\sqrt{\frac{2H}{g}}$$ 此时管下端的高度为$h_1=v_0 t_1-\frac{1}{2} {a_1} {t_1}^2$ 带入数据 $$h_1=\frac{12}{25}H$$ 此后管和球共速上升$v_g=v_0-a_2 t_1=\frac{1}{5} \sqrt{2gH}$ 共速上升的高度 $$h_2=\frac{v_g ^2}{2g}=\frac{1}{25}H$$ 管上升的最大高度$H_1$$$H_1=h_1+h_2=\frac{13}{25}H $$ （3）设第一次弹起过程中球相对于管的位移$x_1$，在管开始下落到上升到$H_1$的过程中，由动能减少量等于摩擦力做功 $$Mg(H-H_1+mg(H-h_1 + x_1)-4mg x_1=0$$ $$x_1= \frac{4}{5}H_1$$即L应满足条件$x_1 +x_2 \leq L$ $$\frac{4}{5}H +\frac{4}{5}H_1\leq L$$ $$\frac{4}{5}H +\frac{4}{5}

这是一个实例 $$ 美元符号中间就是公式， \frac{1}{2} j就会变成 $ \frac{1}{2}$ <?php echo do_shortcode(‘[pdf id=”3227″]’); ?>